把張益唐坑苦的雅可比猜想，被Fable 5證偽了？

編輯｜Panda

今天上午，一位在 Anthropic 工作的數學家 Levent Alpoge 發了一條推文。

推文開頭是一句慵懶的「hello there」，接著他說：雅可比猜想是錯的。然后他感謝了兩個人：一個是「問起這件事的好朋友 akhil」，另一個是「在世界杯決賽期間還在干活的好朋友 fable」。

后面那位「fable」自然是 Anthropic 的大模型 Claude Fable 5。

推文正文剩下的部分是一串誰都能抄下來驗證的多項式：一個從 C3 到 C3 的映射，雅可比行列式恒等于 -2，卻把三個完全不同的點 (0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2) 一起送到了同一個點 (-1/4, 0, 0) 上。

就這么幾行字。一個自 1939 年提出、被寫進斯蒂芬·斯梅爾「21 世紀數學問題」清單、困住整整一代代數幾何學家、連兩個變量的最簡單情形都沒人解決的猜想，被一條推文當成了隨手一提的腳注。

簡而言之，Fable 5 找到了雅可比猜想的一個反例：

這條推文引發廣泛關注，瀏覽量已經超過 500 萬，田淵棟等諸多大佬留言轉發評論，宛如過年。

這是一條推文，也是一篇論文

學術圈的反應很快。斯坦福的數論學家 Jared Duker Lichtman 轉發并逐步拆解了這個反例，還順手挖出了一段幾乎像電影橋段的歷史巧合（后面細說）。他把這項工作的署名寫作「Alpoge、Mathew 和 Claude Fable 5」——這里的 Mathew 指芝加哥大學的代數幾何學家 Akhil Mathew，也就是推文里那位「問起這件事的 akhil」。

在 Hacker News 上，熱度同樣很高，評論區彌漫著一種混合了敬畏和荒誕的情緒。有人寫下那句被反復引用的話：「他就……把它發了條推。」另一位補刀：「我給維基百科詞條加 {{Cite tweet}} 的時候都有點不好意思。」還有人盯著那個非常規寫法的「thanx」感慨：「這個『thanx』要載入史冊了。」

也有人被那條推文的形式逗樂了：這個猜想撐了 85 年，而推翻它的公告發在一個七天后就會過期的格式里。

X 上的氣氛更松弛，有人說這條推文本來可以讓一個人獲得博士學位：

還有人說「我太喜歡 AI 讓突破性數學變得這么隨意了」；有人貼出自己讓 Fable 驗證結果時模型的反應，按幾位網友的描述，模型一邊瘋狂地用五種方法反復核對，一邊不敢相信這是真的。還有一句流傳甚廣的調侃：「我讓 Fable 幫我驗證，它徹底炸了！我完全看不懂這些是什么意思，但我的 AI 覺得我是個傳奇級數學家。」

事實上，也有人認為這條推文本身就是一篇論文，他們還舉例了歷史其它一些篇幅很小的數學論文，甚至比這條推文更短：

熱鬧之外，也有認真的懷疑。有人第一反應是：這個反例這么「小」，degree 這么低、系數也不大，85 年里難道沒人做過一次小范圍的窮舉搜索嗎？這個問題，我們放到后面回答。

雅可比猜想到底在問什么

先把這件事說清楚，它其實比聽上去友好。

想象一個多項式映射：輸入幾個數，只用加法、乘法和整數次冪，輸出另外幾個數。Alpoge 給的這個例子就是把三維空間里的點 (x, y, z) 映射到三維空間里的另一個點。

對任何這樣的映射，你都能寫出一個叫「雅可比矩陣」的東西，里面裝滿了它的偏導數，本質上是一張表，描述每個輸出對每個輸入的微小擾動有多敏感。這張表的行列式是一個數，它告訴你：在某一點附近，這個映射是不是「局部可逆」的。

雅可比猜想問的是一個很具體的版本：如果這個行列式處處等于同一個非零常數，那能不能保證整個映射是全局可逆的。也就是說，你總能從任意一個輸出倒推回那個唯一的輸入，而且倒推的公式還是個多項式？

微積分里的反函數定理已經告訴我們，非零的雅可比行列式是局部有光滑逆的必要條件。1939 年，德國數學家 Ott-Heinrich Keller 想知道的是：這個「局部」的條件，夠不夠強到撐起「全局」的結論。

聽上去像是 1950 年之前就該被解決的問題。結果它成了現代數學里最著名的陷阱之一。

為什么它撐了 85 年

雅可比猜想在數學家中間的名聲，是「看起來平易近人，實則專啃學術生涯」。它排在斯梅爾那份面向 21 世紀的問題清單的第 16 位，和黎曼猜想、Navier-Stokes 方程并列。即便是最簡單的兩變量情形，至今也沒被解決。

它還以「假證明」多而聞名。維基百科詞條里就有一句幾乎是免責聲明式的描述：雅可比猜想以大量后來被發現含有微妙錯誤的已發表和未發表證明而「臭名昭著」。

幾十年下來，研究它的人養成了一種近乎條件反射的謹慎：一個新的雅可比猜想「證明」出現時，默認是「有罪推定」，先假設它錯了再說。

正是這種名聲，讓這次的公告顯得格外不同。因為這一次不是又一個「證明」，而是相反的東西：一個寫得明明白白、滿足猜想全部前提、卻偏偏不可逆的具體函數。

反例，用大白話說

Alpoge 貼出的這個函數，接收三個數 (x, y, z)，輸出三個新數，全部由輸入的和與積搭出來。它的雅可比行列式算出來是常數 -2，處處非零——正好是猜想在意的那個條件。

但它把三個貨真價實不同的起點，(0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2)，送到了同一個終點 (-1/4, 0, 0)。一個不可逆的函數必須干的，正是這件事：把至少兩個不同的輸入壓到同一個輸出上。這里它一口氣壓了三個。

一次這樣的「碰撞」就足以擊沉整個猜想。剩下的全是算術，任何人拿筆把數字代進去就能驗證。也因此，數學圈這次接得這么快。Lichtman 在拆解里寫道，由于 F 把三個不同的點送到了同一個像，它不可能可逆。

一個繞不開的問題：為什么以前沒人找到？

回到前面那個懷疑：例子這么小，怎么以前沒人窮舉出來？

Hacker News 上有人給出了一個不算浪漫但可能接近真相的解釋：不是找不到，是沒人去找。學術數學里錢不多，真正熱愛它的人往往盯著的是「高價值」的大定理，而這種把猜想一擊斃命的低次反例，歷史上多半是業余愛好者的領地；而近幾年「一切皆可變現」的風氣，又把人從這類無功利的智力消遣里推開了。

換句話說，答案可能不在數學里，而在「誰有閑心去搜」這件事上。

也有人提出，Fable 之所以能合成出這個反例，或許恰恰因為它「讀過」大量前人失敗的證明。那些錯誤嘗試里對多項式施加的種種約束，可能以某種方式被模型內化，再借著作者的反復提示和 Wolfram Alpha 的驗證，一點點逼近到最終這串式子上。這個說法目前只是猜測，反對者的反駁也很直接：那些「假證明」是奔著證明去的，未必對「找反例」有任何幫助；退一步說，反例就是反例，在此之前沒人找到過，哪怕他們同樣讀得到那些前人的工作。

這場爭論本身，或許比反例更有意思——它觸及的是一個更大的問題：當模型開始參與真實的數學發現，它到底是在「檢索」人類已有的智慧，還是在「創造」新的東西。

一段關于張益唐的奇異回響

這個故事里最戲劇性的部分，其實和 AI 無關。

據 Lichtman 梳理，雅可比猜想（的一個特例）正是曾在孿生素數猜想和黎曼猜想上取得過實質性突破的頂級數學家張益唐博士期間的課題。當年他的導師讓他在自己證過的一個引理之上做這項工作，而那個引理后來被發現是錯的。張益唐的整篇博士論文，也隨之坍塌。

后面的故事很多人都知道了：論文垮掉后，張益唐拿不到需要的推薦信，多年輾轉于各種工作之間，直到四十多歲才拿到一個穩定的學術職位；但他最終證明了素數間隔有界這一里程碑式的結果。這被認為是現代數學最勵志的翻身故事之一。

而如今，這個曾在張益唐學術生涯起點處把他絆倒的猜想，四十年后被另一群人外加一個大模型在世界杯決賽夜給了結了。歷史的回響，有時候安排得比小說還工整。

但先別急著改教科書

有一件事必須說清楚：截至發稿，這個結果還沒有經過正式的同行評審。而該猜想的維基百科詞條經過多次拉鋸式的反復修改，目前已經對該推文的證明給予了認可。

好消息是，這個反例的驗證門檻極低：它不是一份幾十頁、需要專家逐行審查的證明，而是一個把數字代進去就能算的具體函數。也因此，在缺乏正式論文的情況下，社區仍然愿意在幾小時內認真對待它。多位數學家已經用 Wolfram Alpha 復算并確認了那幾個關鍵數值。但「大家都算過、看起來對」和「已被學界正式接受」之間，仍隔著一道流程。

圍繞它的后續問題也已經浮現。比如，猜想的某個「修補版」是否還能幸存？社區里流傳著一個據稱來自 OpenAI 模型的提議：如果補上一個排除「無窮遠處退化」的條件，猜想或許仍然成立。這個補丁版本是真能被證明，還是又一個等著崩塌的死胡同，現在沒人知道。

值得追問的，不只是一個猜想的生死

把這件事放進更長的脈絡里，它是最近一連串結果中的最新一個。這些結果共同指向一個判斷：前沿模型正在從競賽題和智力游戲，走進真正的開放問題。就在不久前，還有 AI 系統被報道解決了多個懸置數十年的 Erd?s 問題，并生成了可被機器驗證的形式化證明。

但雅可比這個例子有點不一樣。它不是在一個已知題庫上刷分的形式化證明搜索，而是一位真正的在職數學家，把模型當成一個研究協作者，去獵捕一個有名有姓、懸了幾十年的具體猜想的反例；然后不聲不響地發了條推。

https://x.com/alpoge/status/2079028340955197566

https://x.com/jdlichtman/status/2079066717762863249

https://news.ycombinator.com/item?id=48973869

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture

https://officechai.com/ai/an-anthropic-researcher-says-fable-just-helped-him-disprove-the-85-year-old-jacobian-conjecture/

https://explainx.ai/blog/fable-5-jacobian-conjecture-counterexample-alpoge-july-2026