陶哲軒最新演講：數學正在進入“工業時代”

當地時間 7 月 24 日，菲爾茲獎得主陶哲軒（Terrence Tao）在美國費城舉行的 2026 年國際數學家大會（ICM）上發表公眾演講，題為《人工智能時代的數學》（Mathematics in the age of AI）。

他沒有從 AI 又解決了哪一道數學難題講起，而是把時間撥回到 20 世紀初。

在陶哲軒看來，20世紀初，伴隨著羅素悖論、哥德爾不完備定理等一系列發現，數學家被迫重新審視集合、無窮、公理等最基礎的問題。這場被稱為“數學基礎危機”的思想震蕩，一度引發激烈爭論，卻最終推動數學建立起更加嚴密、統一的現代基礎體系。

而今天，隨著 AI 開始參與數學研究，數學或許再次站在一個類似的歷史節點。不同的是，這一次受到挑戰的，不再是數學理論的基礎，而是數學共同體長期默認的研究方式和價值體系：什么才算一項真正完成的成果？數學研究的目標，是盡可能證明更多定理，還是幫助人類建立更深刻的理解？

圖 ｜ 大會現場（來源：X）

盡管陶哲軒并沒有在演講中直接使用“工業化”來形容數學的未來，但他描繪的圖景已經呈現出鮮明的工業特征：數學知識將從稀缺走向充裕，研究流程被拆解為生成、驗證、解釋、評審和知識整合等多個環節，人類與 AI 也將在其中重新分工。當證明越來越容易獲得，真正稀缺的，應該是是提出問題、理解問題，以及組織知識的能力。

（截至發稿，演講視頻尚未上線，本文主要依據陶哲軒會后發布的 52 頁演講幻燈片進行整理解讀。）

真正的問題，已經不是 AI 會不會做數學

在演講一開始，陶哲軒提出了一個“AI 能力猜想”（AI Capability Conjecture）：未來，AI 可能在可接受的成本和一定程度的人類監督下，完成部分研究級數學工作。至于它能處理哪些問題、需要多少人工參與、達到怎樣的正確率和結果質量，都可以有不同設定，因此這一猜想也有強弱之分。

如果連最弱的版本都無法實現，數學界大可以延續原有的研究方式；如果較強版本成為現實，尤其當數學共同體仍把“盡可能多地解決未解問題”放在首位，現有的文化、評價體系和研究實踐都將受到沖擊。

陶哲軒真正關心的，是這種變化會把數學帶向哪里。他在幻燈片中明確說明，這場演講無意判斷“AI能力猜想”是否成立，而是請聽眾先接受一個工作假設（Working Hypothesis）：假設 AI 很快能夠以可接受的成本和監督，承擔相當一部分研究級數學任務，數學共同體該如何應對？整場演講由此展開，重點落在能力提升之后的制度與價值問題。

至于 AI 是否已經接近這一階段，陶哲軒引用了一項自己參與發起的最新評測項目First Proof作為背景。

今年 5 月底，First Proof 在嚴格控制的條件下測試了四套 AI 數學系統。10 道此前從未公開的新題全部來自真實研究過程，由相關領域專家按照學術期刊的審稿標準，對解答的正確性和論文表述進行評估。結果顯示，四套 AI 系統共在 10 道題中成功解決了 7 道，每道題至少有一份解答達到學術期刊發表水平，單題計算成本約為 10 至 1000 美元。

（來源：陶哲軒）

但這項評測中也暴露出了 AI 的局限。雖然它已經能夠完成研究級證明，卻仍會出現引用錯誤、解釋不足等簡單錯誤。在介紹 First Proof 之前，陶哲軒還特意提醒，當前許多關于 AI 數學能力的公開案例都存在報告偏差（reporting bias），算力投入、人工參與和失敗案例等關鍵變量往往沒有完整披露，因此現有材料還不足以支撐穩固判斷。

這不禁讓人聯想到在 ICM 開幕前幾天，數學界還發生了一個引發熱議的事件。7 月 20 日，Anthropic 數學家 Levent Alp?ge 公布了一個由 Claude Fable 5 參與發現的雅可比猜想三維反例。隨后，研究者利用 Isabelle/HOL 完成了形式化驗證，確認這一反例成立。

圖 ｜Levent Alp?ge （來源：Quanta Magazine）

證明很快得到了驗證，但新的問題隨之出現：它為什么成立？這樣的構造是如何想到的？

第二天，陶哲軒在個人博客發表長文，對這一反例進行了詳細解讀。他不止停留在驗證結果，而是一步步還原其背后的幾何構造，解釋它為什么成立，以及它與已有理論之間的聯系。

某種意義上，這正是他在 ICM 想討論的事情。當機器越來越擅長生成和驗證證明之后，人類數學家的工作不會隨之結束，而是轉向另一件同樣重要的事情：解釋證明、組織知識，并幫助數學共同體真正理解這些成果。

而要理解這種變化，就必須先回答一個更根本的問題：數學共同體究竟希望數學研究實現什么？

從“證明稀缺”走向“證明過剩”

在陶哲軒看來，數學研究從來不只有“解出更多題目”這一個目標。它同時承擔著許多不同的使命：解決未解問題、發展新理論、理解世界、建設共同體、培養下一代數學家、擴展共享知識，以及創造具有持久審美價值的作品。

過去，這些目標大體是正相關的。解決重要問題往往意味著發展新理論；尋找證明的過程，也會培養年輕數學家、豐富數學共同體。因此，“解出了多少問題”“誰最先證明”，在相當長時間里都可以近似代表更復雜的學術價值。

但 AI 可能即將打破這種關系。

陶哲軒借用了經濟學中的古德哈特定律（Goodhart's Law）：當一個指標成為優化目標，它就不再是一個好的指標。生成式 AI 缺少現實世界的約束，AI 公司又有展示模型能力的動力，因此尤其容易把“解出更多數學問題”這一指標推向極致。

圖｜古德哈特定律：優化指標，不等于實現目標。（來源：Image 2）

為了說明這一點，陶哲軒在演講中圍繞“一個數學問題究竟何時才算真正解決”展開了五層遞進的討論。

在最初，數學家們的目標只是“盡可能多地解決未解問題“。但這樣的標準很容易產生大量錯誤證明，于是第二層需要加入驗證（verification）。

不過，隨著 AI和自動形式化（autoformalization）的發展，證明生成（proof generation）和證明驗證（proof verification）都在迅速加快。Rocq、HOL、Lean 等證明助理已經能夠逐步檢查形式化證明。但新的問題也隨之出現：如果機器生成了一份已經通過驗證、卻沒有任何人真正理解的證明，它是否意味著這個數學問題已經真正解決？

陶哲軒給出的答案是否定的。因此，第三層進一步加入了闡釋（proof exposition）：證明不僅要正確，還需要有人解釋它為什么成立、有什么意義。而如果再往上一層，成果不止停留在個人，還需要獲得數學共同體的認可，其他研究者不僅確認結論正確，也能夠理解其中的方法，并將其應用到新的研究中。最后，它還需要進入標準理論、教材和數學共同體共享的知識體系，成為后來者繼續發展的基礎。

一條完整的知識鏈出現了：開放問題首先變成未經核驗的證明，再經過驗證、闡釋、同行接受和知識整合，最終才成為穩定的數學知識。

圖 ｜陶哲軒提出“數學問題真正解決”的五層目標（來源：陶哲軒）

AI 可以大幅提高這條知識鏈前端的生產效率，卻無法自動擴建后端。等待驗證、闡釋和整理的證明會越來越多，論文不斷擠壓同行評審系統；即使最終發表，數學界也未必有足夠的人力和時間，把這些成果真正吸收、消化，并整合進成熟的理論框架。

陶哲軒把這種錯配比作一種“證明的消化不良”（proof indigestion）。數學或許將從一個證明稀缺的時代，進入一個證明過剩的時代。

這也延續了他近幾年的判斷。2023 年 6 月，陶哲軒曾預測，把大語言模型與形式化驗證、檢索和符號計算結合之后，2026 年左右，AI 有望成為數學研究中值得信賴的合作者。當時，他緊接著追問的就是：期刊、引用規則和研究生培養體系，該如何適應這樣的變化。

到了 2026 年 6 月，他進一步提出了“Big Mathematics（大數學）”的概念：未來復雜的數學研究將被拆分成大量子任務，由分布式的人機協作網絡共同完成；人類更多負責提出問題、設計方向和創造性工作，AI 則承擔證明生成、形式化驗證等技術性任務。

而這次 ICM 演講，則把他的思考又向前推進了一步。真正的瓶頸，已經不再只是如何生產更多證明，而是如何驗證、理解、傳播并消化這些證明。數學未來需要建設的，不只是更強大的“證明工廠”，更是一套能夠支撐質量控制、同行評審、知識整理和共同體傳承的新體系。

答案正確，還遠遠不夠

如今的 AI，已經可以生成語法、拼寫和格式幾乎無可挑剔的數學文本。但在陶哲軒看來，這類文本的闡釋能力仍然參差不齊：它們往往在簡單的部分停留過久，卻在真正困難或新穎的地方一筆帶過，也很少主動說明一項結果與已有文獻之間的聯系。

更隱蔽的問題，還來自過度潤色。人類作者曾經覺得困難的地方，往往會保留一些思考和推導的痕跡，提醒讀者放慢速度、反復推敲。過于光滑的 AI 文本，卻可能把常規步驟和關鍵突破寫得同樣輕松，反而掩蓋了真正值得學習和理解的思想。

陶哲軒展示了一張自己年輕時閱讀法國數學家讓·布爾甘（Jean Bourgain）1991 年論文的照片。紙頁上寫滿了批注。對他而言，閱讀、停頓、補全中間步驟、重新組織思路，恰恰是理解形成的過程，并不需要被完全刪去。

（來源：陶哲軒）

隨后，他引用了美國數學家威廉·瑟斯頓（William Thurston）1994 年關于數學證明的經典論述：數學并不是為了完成一項由定義、定理和證明組成的抽象生產指標，真正的衡量標準，是能否讓人們更清楚、更有效地理解和思考數學。

證明的發表也不是終點。它還需要被共同體接受、使用，并最終成為教材和標準理論的一部分。其中最緩慢、也最容易被忽視的工作，往往由編輯、審稿人、教材作者以及負責闡釋成果的數學家完成。這些工作遠不如率先給出證明那樣耀眼，卻承擔著把個人成果轉化為共同知識的職責。

基于此，陶哲軒也提出了幾項值得數學共同體重新思考的方向。

首先，披露 AI 的使用應該成為學術寫作中的常態。陶哲軒就在自己的幻燈片中注明，AI 被用于文字自動補全和圖表生成。

其次，評價體系或許需要降低對“第一個解出問題”和證明數量的強調，把更多認可給予闡釋、驗證和知識整合工作。陶哲軒提出，如果作者無法獨立就研究結果作出一份清楚、準確且引用完整的專家級報告，那么這項成果就不應直接發表。

AI 可以幫助期刊篩除明顯缺乏驗證或寫作質量較差的論文，卻無法替代數學共同體作出最終判斷。一個成果是否值得進入學科主線，仍然是一個緩慢、依賴專業判斷和長期共識形成的過程。

與此同時，數學家的職業分工也已經開始發生變化。2026 年 4 月，陶哲軒在接受 Nature 采訪時曾表示，數學家的“工作要求正在改變”。而本屆新晉菲爾茲獎得主雅各布齊默爾曼（Jacob Tsimerman）則宣布，他將在 8 月底加入 OpenAI，從事 AI 安全研究，希望為多智能體系統建立更嚴格的理論保證。

幾天前借助 Claude Fable 5 找到雅可比猜想反例的Levent Alp?ge，正是齊默爾曼曾指導本科畢業論文的學生。如今，兩人分別進入 Anthropic 和 OpenAI：一位借助 AI 探索新的數學對象，一位研究如何讓更強大的 AI 更加安全可靠。

這當然不能代表所有數學家的選擇，但折射出一種正在發生的變化：未來數學家的工作，也許不再只是生產新的證明，而是設計驗證體系、解釋機器生成的結果，并參與塑造人與 AI 協作的新規則。

演講之后，他讓 AI 采訪了自己

演講結束后的第二天，陶哲軒又做了一個有趣的實驗。

7 月 25 日，他在 Mastodon上透露，自己讓 AI 匯集并整理過去發布的 100 多篇帖子、采訪和視頻，總結自己對 AI 的觀點；對于已有材料沒有涉及的問題，再由 AI 反過來“采訪”自己。他還特意要求 AI 把問題設計得更尖銳一些。

（來源：陶哲軒）

在這其中，AI 提出的許多問題，都與這場演講形成了呼應：與多家 AI 公司合作，是否會為行業炒作提供信譽？數學能夠自動驗證，是否只是一個無法推廣到醫療、司法等領域的特殊樣本？一邊警告“證明消化不良”，一邊推動大規模數學項目，是否也在加速“證明過剩”？

陶哲軒沒有回避這些問題。他表示，大規模項目會盡量放在長期缺乏關注的數學“長尾”問題上，避免與年輕數學家的研究方向直接競爭；至于如何判斷一份證明是否真正被“消化”，未來很可能需要期刊、教材和出版體系逐漸建立新的規范。

某種意義上，這場自我采訪，就是他所倡導的人機協作的縮影：AI 閱讀資料、尋找遺漏、提出問題、生成初稿；人類負責審閱、修正，并對最終內容負責。

從 2023 年預測 AI 將成為數學家的合作者，到 2026 年討論如何理解和消化機器生成的證明，陶哲軒關心的問題已經發生了變化。AI 能否參與數學研究，正逐漸從預測走向現實；數學共同體如何重新組織知識、調整評價標準、建立新的協作方式，才是接下來真正需要面對的課題。

未來值得關注的，也許不只是模型還能證明多少定理，而是期刊是否會調整審稿與披露規則，大學如何重新設計數學教育，解釋、驗證和整理知識的工作能否獲得應有的價值，以及機器生成的成果最終有多少能夠進入教材、融入理論，并成為后來者繼續發展的起點。

1.https://teorth.github.io/tao-web/slides/age-of-ai-icm-2026.pdf

2.https://1stproof.org/second-batch.html

3.https://1stproof.org/assets/docs/report.pdf

4.https://isa-afp.org/entries/Jacobian_Counterexample.html

5.https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/

6.https://teorth.github.io/tao-web/ai-views-interview.html