五次方程為什么沒有根式解？真正高中生也能看懂的群論科普（一）

最近大美女王虹得了菲爾茲獎的新聞引起了很多網(wǎng)友對于數(shù)學(xué)的熱愛和討論（或者是假裝自己看懂了人家的工作的樣子），在網(wǎng)上又繼韋神、姜圣之后，掀起了一陣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的浪潮。不過似乎本質(zhì)上還是國人愛湊熱鬧的心理吧，畢竟美女?dāng)?shù)學(xué)家有熱點，像她同學(xué)、一起得菲茲獎的鄧煜熱度相對就低了很多，大約是沒啥熱度吧。

作為一名主打扯淡的博主，時代君也想蹭這個熱度，但是可能不認(rèn)識人家，于是想了半天，決定寫一篇最通俗的科普五次方程為什么沒有根式通解的文章，能夠真正讓高中生也能看懂，并理解其中的意思，從而了解到為什么當(dāng)年英年早逝的阿貝爾和伽羅瓦，當(dāng)年做的工作的意義。

畢竟阿貝爾27歲去世、伽羅瓦20歲去世，做出的貢獻(xiàn)對于整個數(shù)學(xué)界影響又大，所以這倆人通常也是小黃書、B乎上熱度很高的工具，但是對于他們的理論，多數(shù)人又寫不清楚，至少時代君沒有看到過感覺高中水平能看懂的文章，當(dāng)然這也不能怪高中生，畢竟像泊松這種悲催的大牛當(dāng)年都看不懂，普通人看不懂也很正常，最終導(dǎo)致做出了大量貢獻(xiàn)的泊松，在普通人眼里就泊松亮斑和看不懂伽羅瓦的論文，從而在數(shù)學(xué)史上成為了天才的墊腳布，在無數(shù)科普文章里都成了笑料。

裝逼

好了，廢話不多說，下面進入正題。

一、到底什么是方程的根式通解？以及為什么五次方程沒有根式通解

說五次方程沒有根式通解，一不是說五次方程沒有解，因為根據(jù)代數(shù)基本定理，任何一元多項式方程在復(fù)數(shù)域都有解。二不是說五次方程的解不能表示成根式的形式，因為很多五次方程的一些解都能表示成根式的形式。比如說下面的例子：

五次方程沒有根式通解的含義是：找不到一個用層疊根式表示通用公式，用五次方程的系數(shù)，把五次方程的所有解統(tǒng)一表示出來。

這個統(tǒng)一表示怎么理解呢？下面時代君分別以2、3、4次方程的例子，來嘗試給大家詳細(xì)解釋一下。

大家都知道，在復(fù)平面上任意畫幾個點x1、x2、x3......，就可以構(gòu)造一個幾次方程，因為可以寫成(x-x1)(x-x2)...(x-xn)=0的形式。

那么對二次方程來講，兩點之間形成一條線段，那么怎么用一個統(tǒng)一的式子來一下子把這兩個點表示出來呢？那很簡單：兩點之間連線的中點，加減線段長度的一半，就是這兩個點了。

最終表現(xiàn)出來就是初中生都會的，一元二次方程的通解形式：

看起來就是，一個中點，加一段減一段，兩個解就統(tǒng)一表示出來了。

那對于三次方程呢？有點復(fù)雜，但也不是能不確定，三點確定一個圓，從圓心到兩個點之間分別做垂線，那三個解就是垂點加減兩個不同弦的一半。推導(dǎo)出來比較復(fù)雜，但是總的來說是可以想象出來的。最終三次方程的解，差不多長這樣。

四次方程也差不多，描述出來，就是兩兩點之做做中垂線，相交那個點到兩線段中點那個值到兩線段中點，加減線段的一半。不過最終給出來的公式，就非常復(fù)雜了。

但對于五次方程，你就很難這么用一個公式或者說一句話來描述了。你或許可以說某個五次方程的其中兩個根是從點1往左和右各走兩步，另三個根則是從點2往3點鐘、6點鐘、9點鐘方向，各繞一刻鐘等等。但這種描述方法完全不具有通用性，也就是說沒有辦法拿一個通用公式去套所有的解情況。也就是說5次方程沒有通用根式解。

從上面的例子，想必大家能夠明白兩件事：一是五次方程沒有求根公式本質(zhì)上是沒有辦法用相對簡單的統(tǒng)一的一句話把一元五次方程的所有解給統(tǒng)一起來。二是為什么專門要說根式解，而不是說指數(shù)解對數(shù)解，因為在這里面可以看到很多開根號。

而這里面隱含的問題在于初等數(shù)學(xué)的表達(dá)能力是有局限性的，從幾何意義上來講，加減乘除乘方開方，代表了數(shù)在復(fù)平面上的平移、縮放、旋轉(zhuǎn)、彎折，對于二三四次方程，都有可能經(jīng)過有限次的操作，讓幾個根統(tǒng)一到一個包含了某個或某幾個對稱的加減的根式運算里，但是五次方程沒有這種可能。下一章，我們將詳細(xì)解釋這種對稱與統(tǒng)一的關(guān)系。

不過值得注意的是，雖然用有限次的初等數(shù)學(xué)方法沒法把五次方程的解統(tǒng)一到一個框架里，但是其它方法是可以的，比如說克萊因就證明了用二十面體的變換可以把所有解表示出來。

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