《人類科學(xué)技術(shù)史-346》希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)（上）

希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)（上）

數(shù)學(xué)大師希爾伯特的成長(zhǎng)和成功的道路，是現(xiàn)代人才學(xué)的一個(gè)典型例子。他的故鄉(xiāng)哥尼斯堡，建于13世紀(jì)，是一座著名的大學(xué)城，有古老的大學(xué)，有著名的哲學(xué)家康德的墓地，文化傳統(tǒng)十分深厚。愛(ài)好哲學(xué)、天文和數(shù)學(xué)的母親對(duì)他更有潛移默化的影響。

希爾伯特讀小學(xué)時(shí)，適遇后來(lái)成為杰出數(shù)學(xué)家的閔科夫斯基(1864-1909）從俄羅斯搬到哥尼斯堡，并成為希爾伯特的鄰居。覺(jué)得自己比較愚鈍的小希爾伯特，在少年奇才閔科夫斯基等的激勵(lì)下，學(xué)習(xí)十分的勤奮努力，并和閔科夫斯基成為摯友。在希爾伯特的學(xué)生時(shí)代，德國(guó)的小學(xué)教育十分注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本訓(xùn)練，中學(xué)和大學(xué)充滿自由學(xué)習(xí)的空氣。著名的數(shù)學(xué)家雅可比、魏伯等曾在希爾伯特就讀的哥尼斯堡大學(xué)里任教，并使該校形成了數(shù)學(xué)研究中心，年輕人能經(jīng)常接觸到數(shù)學(xué)研究最前沿的課題。

1885年，希爾伯特獲博士學(xué)位，1893年任哥尼斯堡大學(xué)教授，1895年赴哥廷根大學(xué)任教授。1902年后一直是德國(guó)《數(shù)學(xué)年刊》主編之一。

1.希爾伯特涉及的主要數(shù)學(xué)領(lǐng)域

希爾伯特是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他常常直攻數(shù)學(xué)的重大問(wèn)題，開(kāi)拓新的研究領(lǐng)域，并努力尋求帶普遍性的方法。他涉及的數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是多方面的。從時(shí)間順序上看，主要有以下幾個(gè)方面。

他獲得博士學(xué)位后，便開(kāi)始研究果爾丹問(wèn)題，即不變式系的有限整基的存在定理。希爾伯特獨(dú)辟蹊徑，采用了直接的、非算法的方法進(jìn)行了證明，問(wèn)題的徹底解決曾轟動(dòng)數(shù)學(xué)界。他對(duì)代數(shù)不變式問(wèn)題的研究工作，孕育了女?dāng)?shù)學(xué)家愛(ài)米.諾特為代表的抽象代數(shù)學(xué)派。

1894年后，希爾伯特主要研究代數(shù)數(shù)域論問(wèn)題，1898年的論文《相對(duì)阿貝爾域理論》，是他在這一方面工作的頂峰。日本數(shù)學(xué)家高木貞治(1875-1960）和奧地利數(shù)學(xué)家阿廷(E.Artin，1898-1962)在他工作的基礎(chǔ)上發(fā)展了類域論。

1899年至1903年，希爾伯特的工作主要在幾何基礎(chǔ)方面。1899年，他發(fā)表了著名的《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)。在此書(shū)中，他給出了幾何學(xué)的一個(gè)清晰的、完備的公理化體系。全體公理按性質(zhì)分為5組，即關(guān)聯(lián)公理、次序公理、平行公理、六條全等公理和連續(xù)公理。希爾伯特對(duì)這些公理之間的邏輯關(guān)系作了深刻考察，精確提出了公理系統(tǒng)的相容性、獨(dú)立性和完備性的要求，這一方面工作的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何基礎(chǔ)的范疇。希爾伯特所奠基的公理化方法是19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)晶，并為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們起到了導(dǎo)航作用。

1904年，希爾伯特證明了狄利克雷原理，解決了它的適用范圍問(wèn)題，從而拯救了這一原理，大大豐富了變分法的經(jīng)典理論。

從1904年到1912年，希爾伯特發(fā)展了弗雷德霍姆積分方程論，綜合運(yùn)用分析、幾何和代數(shù)的方法發(fā)展了特征函數(shù)與特征值理論。他將函數(shù)空間中的函數(shù)按正交基坐標(biāo)化為數(shù)列，提出具有平方收斂和的數(shù)列空間的概念，即希爾伯特空間，他還發(fā)現(xiàn)并巧妙處理了"算子譜"理論。這些工作為泛函分析的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。這一時(shí)期，希爾伯特還證明了數(shù)論中的華林(1734-1798）猜想。

此后的大約10年時(shí)間，希爾伯特專注于物理領(lǐng)域，他成功地將積分方程論用于空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題；研究了物質(zhì)結(jié)構(gòu)等理論的處理；探討用公理化方法來(lái)推演近代物理學(xué)問(wèn)題；在廣義相對(duì)論方面的工作令人矚目，他獨(dú)立于愛(ài)因斯坦推導(dǎo)出了引力場(chǎng)方程，并為孕育統(tǒng)一場(chǎng)論的思想作出了貢獻(xiàn)。

1918年后，希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究形成了"形式主義計(jì)劃"的思想，并成為形式主義學(xué)派的創(chuàng)立者。按照形式主義計(jì)劃，整個(gè)數(shù)學(xué)理論被表現(xiàn)為僅由符號(hào)、公式和公理組成的相容的形式系統(tǒng)。他提出證明論(也稱元數(shù)學(xué)）作為證明形式系統(tǒng)相容性的途徑，元數(shù)學(xué)堅(jiān)持推理的有限性。希爾伯特和他的學(xué)派，確實(shí)證明了一些簡(jiǎn)單形式系統(tǒng)的相容性，而且相信，他們將實(shí)現(xiàn)證明算術(shù)和集合論的相容性的目標(biāo)。然而，1931年，哥德?tīng)?1906-1976)證明用希爾伯特"元數(shù)學(xué)"證明算術(shù)公理的相容性是行不通的。盡管如此，希爾伯特的形式主義計(jì)劃仍不失其重要性，它帶動(dòng)了20世紀(jì)有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。

希爾伯特對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的工作，乃是他在本世紀(jì)初發(fā)表的關(guān)于23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的講話。

2.希爾伯特提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題

1900年，關(guān)于物理和數(shù)學(xué)有兩個(gè)著名的講話。

一個(gè)是19世紀(jì)物理學(xué)界的元老威廉.湯姆遜(1824-1907)，即開(kāi)爾文勛爵于1900年4月27日在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)上發(fā)表的《熱和光的動(dòng)力理論上空的19世紀(jì)烏云》的演講。這個(gè)演講的主要基調(diào)是，充分肯定19世紀(jì)物理學(xué)的成就，認(rèn)為物理學(xué)大廈已經(jīng)建成，余下的只是修修補(bǔ)補(bǔ)的事情了。這個(gè)講話之所以著名，原因有兩點(diǎn)。原因之一是研究科學(xué)技術(shù)史的人們經(jīng)常引用此演講作為科學(xué)保守派的例子，因?yàn)椋驮诖酥v話發(fā)表之后不久，以相對(duì)論和量子力學(xué)為標(biāo)志的物理學(xué)革命便完全改變了物理學(xué)的面貌；原因之二是開(kāi)爾文勛爵能眼光銳利地指出了物理學(xué)"萬(wàn)里晴空"中還漂浮著的"兩朵烏云"：一是與比熱和熱輻射有關(guān)的理論問(wèn)題，另一則是麥克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)的"零結(jié)果"。但他未能預(yù)料這"兩朵烏云"正是即將來(lái)臨的物理學(xué)革命風(fēng)暴的前兆。

另一著名演講則是1900年8月8日，德國(guó)著名數(shù)學(xué)大師希爾伯特在巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，發(fā)表的"數(shù)學(xué)問(wèn)題"的演說(shuō)。1897年，在瑞士的蘇黎士召開(kāi)的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議決定，1900年在巴黎召開(kāi)第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議。1899年，希爾伯特接到了會(huì)議籌備機(jī)構(gòu)的邀請(qǐng)，要他在會(huì)上作主要發(fā)言。

為了準(zhǔn)備一個(gè)與世紀(jì)交替之際相稱的發(fā)言，希爾伯特前后用了8個(gè)月的時(shí)間，就當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究的最前沿的問(wèn)題進(jìn)行了仔細(xì)的準(zhǔn)備，并與閔科夫斯基、赫爾維茨一起商量，向大會(huì)提出23個(gè)當(dāng)時(shí)尚未解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這些問(wèn)題從最一般的基礎(chǔ)問(wèn)題開(kāi)始，以變分法和數(shù)理方程等接近實(shí)用的學(xué)科中的問(wèn)題結(jié)束，涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)具體分支。

和世紀(jì)之交的"物理學(xué)演講"不同，希爾伯特提出的23個(gè)問(wèn)題，列出在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力攻克的目標(biāo)，為新世紀(jì)中的數(shù)學(xué)發(fā)展揭開(kāi)了充滿挑戰(zhàn)性的、光輝的一頁(yè)。這些問(wèn)題在相當(dāng)程度上左右和導(dǎo)引了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展和研究方向。

后來(lái)被稱為希爾伯特問(wèn)題的23個(gè)問(wèn)題，引起了數(shù)學(xué)界人士的廣泛注意。20世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紴榻鉀Q希爾伯特問(wèn)題作出過(guò)貢獻(xiàn)。

1975年，交流、總結(jié)希爾伯特問(wèn)題研究進(jìn)展的國(guó)際會(huì)議，在美國(guó)伊里諾斯大學(xué)召開(kāi)，大會(huì)論文匯編成《由希爾伯特問(wèn)題引起的數(shù)學(xué)發(fā)展》一書(shū)。1936年至1974年，獲菲爾茲獎(jiǎng)(數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)）的20人中，有12人的工作與希爾伯特問(wèn)題有關(guān)。以下列出希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及有關(guān)的進(jìn)展情況。