AI領(lǐng)走埃爾德什100美元賞金！44頁(yè)頂刊沒(méi)解的題，它一頁(yè)紙答出

新智元報(bào)道

一頁(yè)紙，啃下了一篇要用44頁(yè)頂刊論文才啃動(dòng)的硬骨頭。

1991年，《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）上登出過(guò)一篇44頁(yè)的論文。

作者叫József Beck，這個(gè)名字在組合數(shù)學(xué)圈無(wú)人不知。

他是Beck-Fiala定理的提出者，1985年Fulkerson獎(jiǎng)得主，1986年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)受邀報(bào)告人，差異理論的奠基者之一。

論文標(biāo)題是《單位圓上零點(diǎn)多項(xiàng)式的模：埃爾德什的一個(gè)問(wèn)題》，攻克的是埃爾德什問(wèn)題庫(kù)（Erd?s Problems）里編號(hào)119的那道題。

在單位圓上隨便取一串復(fù)數(shù)當(dāng)零點(diǎn)，乘成多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式在單位圓上的最大模Mn，能不能保證在無(wú)窮多個(gè)n處超過(guò)n的c次方。

Beck證明了，能。這道題是那個(gè)年代公認(rèn)最難啃的硬骨頭。

AI領(lǐng)走了埃爾德什的賞金。119號(hào)問(wèn)題當(dāng)年一口氣問(wèn)了三問(wèn)，第三問(wèn)懸賞100美元，如今狀態(tài)已改為SOLVED。

35年后，這篇論文被一頁(yè)紙超過(guò)了。

說(shuō)這話的，是Thomas Bloom。

他是一位數(shù)學(xué)家、曼徹斯特大學(xué)研究員，也是erdosproblems.com網(wǎng)站的創(chuàng)建者和維護(hù)者。

埃爾德什留下的1000多道開(kāi)放問(wèn)題都掛在這個(gè)網(wǎng)站上，是全球數(shù)學(xué)家追蹤這些問(wèn)題的第一站。

正因如此，AI公司每次宣稱「解決了埃爾德什問(wèn)題」，都要先過(guò)他這一關(guān)。

他在X上寫(xiě)道：

目前為止，GPT-5.6 Sol是我見(jiàn)過(guò)數(shù)學(xué)上最有意思的新模型。那些提交到erdosproblems.com的新證明，凡是我細(xì)看過(guò)的，全部正確，而且都包含一些有趣的想法。

Bloom還特意強(qiáng)調(diào)，這不是因?yàn)锳I動(dòng)用了什么更復(fù)雜的武器，而是我們?cè)疽詾椋@道題比它實(shí)際上難得多。

OpenAI總裁Greg Brockman轉(zhuǎn)發(fā)了這條推文，說(shuō)了一句：

感覺(jué)這是推進(jìn)數(shù)學(xué)的一個(gè)分水嶺時(shí)刻。能真正改善人類生活的科學(xué)與醫(yī)學(xué)突破，現(xiàn)在感覺(jué)非常近了。

埃爾德什的100美元懸賞

AI領(lǐng)走了

先把這道題的來(lái)龍去脈捋清楚。

1957年，埃爾德什在一篇論文里問(wèn)出了這道題，一口氣問(wèn)了三問(wèn)，問(wèn)的是單位圓上零點(diǎn)多項(xiàng)式的模。

此后的四十年里，他在1961、1964、1982、1990、1997年反復(fù)重提。

第一問(wèn)，Wagner在1980年拿下。

第二問(wèn)，Beck在1991年拿下，證明存在某個(gè)c>0，使得max_{n≤N} M_n > N^c。這就是那篇44頁(yè)的《數(shù)學(xué)年刊》論文。

Beck這篇論文發(fā)表于《數(shù)學(xué)年刊》1991年第134卷第3期

第三問(wèn)，埃爾德什自己掏錢(qián)掛了100美元賞金，出處是他1997年的一篇文章。

現(xiàn)在，領(lǐng)走賞金的是GPT-5.6和一位叫Korsky的數(shù)學(xué)家。他們只用一頁(yè)紙，就搞定了Beck沒(méi)碰的那一問(wèn)。

埃爾德什一生提出上千道問(wèn)題，并自掏腰包為它們懸賞，金額從25美元到1萬(wàn)美元不等。

Bloom的評(píng)價(jià)是：GPT在Korsky的提示下，只用了1頁(yè)簡(jiǎn)單的調(diào)和分析技巧，就證出了比Beck那篇44頁(yè)Annals論文更強(qiáng)的結(jié)果。

關(guān)鍵的一步，Bloom后來(lái)在討論區(qū)里點(diǎn)破了：把一個(gè)非負(fù)函數(shù)做卷積，再在時(shí)間上平移1，表達(dá)式一下子就光滑了，原本硬啃的地方順了下來(lái)。

他說(shuō)，這種把算子范數(shù)放到對(duì)偶范數(shù)和內(nèi)積里去估的路數(shù)，本來(lái)就是分析里最常用的招之一。

不是新工具，是舊工具用在了沒(méi)人想過(guò)的地方。

Bloom說(shuō)明，Beck那篇Annals論文里有許多重要而有趣的想法，只是這道題用不上。他補(bǔ)了一句：至少對(duì)我來(lái)說(shuō)，這挺意外的。

他還提到一個(gè)細(xì)節(jié)：沒(méi)人算過(guò)那個(gè)常數(shù)，估計(jì)非常小。Beck自己當(dāng)年也沒(méi)算，而依他的判斷，如果那個(gè)常數(shù)值得一提，Beck不會(huì)不算。

所以，這不是AI推翻了頂刊，而是發(fā)現(xiàn)了一條人類本來(lái)可以不繞的彎路。

對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這比「AI又解出一道題」刺激得多。

解出一道題，只是多了個(gè)工具。這一次，是工具反過(guò)來(lái)糾正了用工具的人。

人會(huì)聳聳肩走開(kāi)

AI會(huì)接著試下一個(gè)

如果只有這一件事，它頂多算個(gè)漂亮的孤例。

GPT-5.6 Sol Ultra于7月9日全量放開(kāi)，7月10日，OpenAI宣布GPT-5.6 Sol Ultra產(chǎn)出了Cycle Double Cover猜想的完整證明。

這道題由Szekeres在1973年、Seymour在1979年各自獨(dú)立提出，懸了約五十年。

模型被分配了8小時(shí)，實(shí)際用了不到1小時(shí)，跑法是64個(gè)子智能體并行開(kāi)工。提示詞和證明PDF全部公開(kāi)。

Bloom是第一個(gè)給出實(shí)質(zhì)評(píng)價(jià)的人。

他說(shuō)這是一個(gè)很漂亮的證明，然后給了三個(gè)形容詞：

短。初等。1980年代就本可以被發(fā)現(xiàn)。

他也點(diǎn)出了背后的原因：他推測(cè)，關(guān)鍵那一步里有一個(gè)很小的、反直覺(jué)的拐彎。

一個(gè)人類數(shù)學(xué)家會(huì)怎么處理這道題？

他會(huì)先試那個(gè)最自然的做法，檢查一遍線性代數(shù)，發(fā)現(xiàn)不行，然后聳聳肩，心里想一句「本來(lái)也沒(méi)指望能這么容易」，起身走人。

但AI不會(huì)氣餒。它會(huì)接著做小變體，直到某一個(gè)成立為止。

AI強(qiáng)在不做情緒性止損。

回頭看今年4月，GPT-5.4 Pro在80分鐘里解掉了Erd?s 1196，用的是von Mangoldt函數(shù)。

牛津的Jared Lichtman在那個(gè)問(wèn)題上耗了七年，他后來(lái)說(shuō)，自1935年以來(lái)，所有做原始集問(wèn)題的人都習(xí)慣了同一個(gè)開(kāi)局動(dòng)作，而那個(gè)動(dòng)作，遮蔽了一個(gè)在明處擺了整整90年的技術(shù)可能。

陶哲軒看完的評(píng)價(jià)更狠：過(guò)去幾十年，人類在第一步就集體走偏了。

人類的直覺(jué)當(dāng)然不是缺陷。恰恰相反，它是效率工具：替我們省掉了海量注定失敗的嘗試，沒(méi)有它，沒(méi)人能在有限的一生里走到學(xué)科前沿。

代價(jià)是，偶爾它也會(huì)省掉不該省的那一次。

說(shuō)GPT-5.6有意思的人

去年說(shuō)過(guò)另一句話

去年10月，Bloom曾公開(kāi)打臉OpenAI。

當(dāng)時(shí)，OpenAI副總裁Kevin Weil轉(zhuǎn)發(fā)了Mark Sellke的帖子并寫(xiě)道：GPT-5剛剛找到了10道此前未解的埃爾德什問(wèn)題的解，另有11道取得進(jìn)展，這些題都已經(jīng)開(kāi)放了數(shù)十年。

Bloom一句話回應(yīng)為此定性：戲劇性的誤導(dǎo)。

他說(shuō)這些題在網(wǎng)站上標(biāo)著open，只意味著他本人不知道有哪篇論文解決過(guò)它。GPT-5干的事情，是把他不知道的那些文獻(xiàn)翻了出來(lái)。

而找到文獻(xiàn)，不等于造出證明。

接下來(lái)的情形，許多人都記得。

LeCun在旁邊補(bǔ)刀，暗諷自己埋的雷炸了自己。Hassabis更直接：這太尷尬了。

Weil刪帖。

OpenAI研究員Sébastien Bubeck最后承認(rèn)只是找到了文獻(xiàn)里已有的解。

今年5月OpenAI再宣布推翻一個(gè)1946年的埃爾德什幾何猜想時(shí)，在公告里同步附上Noga Alon、Melanie Wood和Thomas Bloom的評(píng)價(jià)。

AI數(shù)學(xué)撞墻了嗎？

Bloom那條帖子底下的論戰(zhàn)，也很精彩。

唱衰派以用戶qrdl為代表，「5.6的思維鏈輸出少得可憐，677那道題毫無(wú)進(jìn)展，物理側(cè)的CritPT評(píng)測(cè)相比5.4幾乎沒(méi)動(dòng)」。

他的結(jié)論是：AI在數(shù)學(xué)上已經(jīng)撞墻了。

用戶qrdl在論壇發(fā)帖，說(shuō)CritPT自5.4以來(lái)幾乎沒(méi)動(dòng)，除非他們找到了給基準(zhǔn)刷分的辦法，否則結(jié)果也就這樣。

qrdl的論證倒不情緒化。

他認(rèn)為大模型本質(zhì)上是靜態(tài)權(quán)重的token生成器，做數(shù)學(xué)的時(shí)候，不會(huì)像人一樣實(shí)時(shí)長(zhǎng)出新的神經(jīng)連接。而真正的創(chuàng)造性跳躍，需要一個(gè)有彈性的大腦。

qrdl的體感是：每次開(kāi)新會(huì)話去攻677，模型就把那些早已失敗過(guò)的老招式再來(lái)一遍。

回懟來(lái)得也很快。

Nat Sothanaphan指出，CritPT是物理測(cè)試，不是數(shù)學(xué)基準(zhǔn)，拿它一家的曲線證明AI在數(shù)學(xué)上撞墻，是挑對(duì)自己有利的數(shù)據(jù)。

他給的反證是：5.6在包括FrontierMath在內(nèi)的一大批評(píng)測(cè)上都比5.5有提升。

另一派是實(shí)戰(zhàn)派，代表是名為old-bielefelder的用戶。

old-bielefelder報(bào)告，GPT-5.6 Sol思考14分鐘、復(fù)核9分多鐘，把Pintz 2018年那個(gè)0.72的指數(shù)改進(jìn)到0.7195。

不算驚天動(dòng)地，但確實(shí)動(dòng)了，用old-bielefelder自己的說(shuō)法是「第一口奶」。

作為對(duì)照，前一天晚上GPT-5.5在同一個(gè)問(wèn)題上磨了一個(gè)多小時(shí)，0.72紋絲不動(dòng)。

他隨后把結(jié)果直接通知了Pintz本人。

第三種聲音同樣來(lái)自Nat Sothanaphan，他借用了Bloom的一個(gè)說(shuō)法：現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座巨大的教堂。

走到這座教堂的最前沿本身就極耗力氣，而大模型已經(jīng)能以超人的效率做到這件事，最近的突破基本都源于此。再往前推，需要的是流動(dòng)智力。

有人說(shuō)大模型沒(méi)有流動(dòng)智力，他認(rèn)為這是錯(cuò)的。

ARC系列評(píng)測(cè)這幾年的持續(xù)上漲就是證據(jù)，GPT-5.6 Sol在最高推理檔位下拿到7.8%。這個(gè)基準(zhǔn)今年3月上線時(shí)，最好成績(jī)是0.37%，而人類穩(wěn)定在90%以上。

ARC Prize官方驗(yàn)證成績(jī)。GPT-5.6 Sol在ARC-AGI-3上的表現(xiàn)隨推理檔位陡升，Low檔只有0.3%，Max檔拿到7.8%。

他的解釋是：教堂的地基太龐大了，龐大到把那點(diǎn)正在快速生長(zhǎng)的流動(dòng)智力完全蓋住。所以你光看產(chǎn)出的分量，會(huì)覺(jué)得什么都沒(méi)發(fā)生。

但等到某一天流動(dòng)智力開(kāi)始?jí)哼^(guò)地基，它會(huì)突然變得肉眼可見(jiàn)。

吵了兩周，這場(chǎng)爭(zhēng)論真正吵出來(lái)的，不是「AI能不能做數(shù)學(xué)」，是「難」這個(gè)字要怎么定義。

數(shù)學(xué)史上那些標(biāo)著「懸而未決」的條目，一部分記錄的是問(wèn)題本身的難度，另一部分記錄的只是人類耐心的邊界。

過(guò)去這兩者混在一起，沒(méi)人分得開(kāi)。現(xiàn)在，開(kāi)始能區(qū)分了。

一道題掛了幾十年沒(méi)人領(lǐng)走，可能不是因?yàn)樗卸嚯y，而是因?yàn)闆](méi)人肯在那條路上再試第三十次。

還有多少題目，卡住它們的其實(shí)只是人類的耐心？

參考資料：

https://annals.math.princeton.edu/1991/134-3/p03

https://www.erdosproblems.com/forum/thread/AI%20Contributions

https://arcprize.org/results/openai-gpt-5-6-sol

編輯：元宇