90后數學家王虹未曾“贏在起跑線”，但她的工作值得最高殊榮

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眾所周知，2026菲爾茲獎官網提前十天意外泄露了今年得主名單，兩位中國數學家王虹和鄧煜將極有可能與另兩位外國學者共同問鼎這一數學界的最高榮譽之一，創造中國數學的歷史性時刻。

去年2月，《返樸》曾刊文詳細介紹王虹與合作者扎爾合作證明的三維掛谷猜想，他們將本來堅不可摧的數學堡壘一舉拿下。

但如今這位在國際數學界已經非常耀眼的90后數學家，在當今中國教育卷生卷死的環境中卻并沒有那些大家熟知的“標配”經歷。相反，她入北大時就讀地球與空間物理系，后轉入數學，本科畢業后赴法國讀碩士期間，并沒感到自己有特別的優勢，期間還一度轉去學建筑，但出于對數學的熱愛最終回歸數學。跨界兩次的她，即便在數學領域內也頗具跨界色彩，很早就游走于分析、幾何、組合之間。今天我們就一起詳細了解下，三維掛谷猜想的含金量何以問鼎數學界的最高榮譽。

撰文|嘉偉

如廁時遭偷襲的日本武士與黎曼積分

數學是用簡單的詞語來表達艱深思想的科學。

——愛德華·卡斯納（Edward Kasner）和詹姆斯·紐曼（James Newman）

早在2025年第二個月份還余下幾天未過完時，數學界仿佛就看到了當年全年度最重要的數學成果：年僅34歲的紐約大學柯朗數學研究所副教授王虹與不列顛哥倫比亞大學的約書亞·扎爾 （Joshua Zahl） 合作，在預印本網站arXiv上提交了一篇長達127頁的論文，宣告證明了三維掛谷猜想 （Kakeya Conjecture） 。

王虹和約書亞·扎爾在arXiv發布的論文預印本，宣稱證明了3維掛谷猜想|圖源：[2502.17655] Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions

掛谷猜想脫胎于著名的轉針趣題。1917年， 日本數學家掛谷宗一 (Soichi Kakeya，1886-1947） 提出了被后世以他的姓氏命名的著名問題：

在某些圖形中，長度為1個單位的線段（一根針）可以轉過180°，在這個過程中該線段總是保持在該圖形之內，在所有這樣圖形里，哪種圖形具有最小面積？需要注意的是，沿著線段方向前后移動，此時線段并未掃過任何面積。

據說掛谷的靈感來自遭到偷襲的日本武士，他把武士刀抽象成理想的不占空間的長針，同時為了方便，把問題限制在2維平面上。掛谷評注道：

日本武士有一把長刀用于自衛，他需要能夠在任何空間內自由地揮舞武士刀，無論空間大小如何一一即使是在茅房里。

注：關于掛谷轉針問題的原始表述和相關歷史，不同文獻給出的記錄稍有差異，這里為了表述方便，采用上海科技教育出版社出版的“ 發現數學叢書”系列中朱利安·哈維爾（Julian Havil）所著的《不可思議:有悖直覺的難題及其令人驚嘆的解答》一書的說法。

掛谷宗一罕見的個人肖像照 | 圖源：東京大學研究生院數學科學研究科珍藏的影像資料

一個半徑為0.5的圓是最容易想到的可滿足條件的圖形，但它顯然不是所有滿足條件的圖形里面積最小的。

掛谷和他的同事以及其他一些人最初就推測，一個高為1的等邊三角形就是能滿足題中條件、具有最小面積的凸圖形。極有才華和抱負的匈牙利裔數學家朱利爾斯·鮑爾 （Julius Pál） 從匈牙利波茲索尼 （現斯洛伐克首都布拉迪斯拉發） 遷居到了丹麥的哥本哈根，并在1921年發表了相關證明，確認高為1的等邊三角形就是滿足掛谷條件的面積最小的凸形。

等邊三角形就是滿足掛谷條件的面積最小的凸形。| 圖源：《不可思議:有悖直覺的難題及其令人驚嘆的解答》，第13章

資助鮑爾定居哥本哈根的是數學家哈拉爾·玻爾 （Harald Bohr） ——物理學家、量子理論先驅尼爾斯·玻爾 （Niels Bohr） 之弟。極有可能正是這位數學家玻爾向鮑爾介紹了掛谷的轉針謎題。

另一方面，掛谷和早期研究者猜測，對于非凸的圖形，答案指向三尖瓣線。它是內擺線家族中的一個特殊成員。不過不久之后，人們就意識到還有面積更小的圖形。

三尖瓣線丨圖源：Kakeya set - Wikipedia

同樣在1917年，來自俄羅斯的數學家艾伯拉姆·貝西科維奇 （Abram Besicovitch） 解決了一個看似不同的問題。頗具巧合意味的是，貝西科維奇同樣前往丹麥尋求研究職位，而他的主要資助者也是哈拉爾·玻爾。

又過了好幾年，貝西科維奇才聽說了掛谷那個“具有引人入勝的表述直觀性”的謎題，并且提供了一個完全不同尋常、完全出人意料的解答。

1917年，貝西科維奇當時在思考下面的黎曼積分問題：

假如在平面上有一個黎曼可積的函數f，那么是否必定存在著一個直角坐標系（x，y），使得對于每一個固定的y，f（x，y）作為以x為變量的函數黎曼可積，并且f的二次積分就等于重積分∫∫f(x, y)dxdy？

貝西科維奇為了回答上述問題，構建了這樣一個集合：一個包含了指向所有方向的單位線段，但面積（嚴格來說是勒貝格測度）為0的圖形。

這個集合被命名為貝西科維奇集 （Besicovitch set） 。因為這種線段集合的存在，所以上述問題的答案是否定的。

今天站在后來人的視角，可以看出這個問題本質上是對實分析中的重要定理——Fubini定理的探索和挖掘。然而數學的魅力往往就在于它的出人意料，在貝西科維奇集上應用所謂的“鮑爾連接” （前文提過的那位鮑爾） ，竟然可以證明，掛谷轉針問題的答案是：不存在一個面積最小的圖形，因為針掃過的面積可以任意地接近于0。

如此一來，殊途同歸，分析學上的積分問題就和平面上的幾何問題建立起奇妙的聯系，貝西科維奇集也因此被稱為掛谷集 （Kakeya set） 。

此外值得一提的是，網絡上常見的科普文章，以及一些出版物會犯一個錯誤。很多人誤以為面積為0的貝西科維奇集的存在性本身，可以直接推出“針掃過的最小面積可以是0”這一結論。但是，把指向所有方向的針直接擺放到一起得到的圖形，和把一根針連續旋轉180°掃過的圖形是兩碼事。實際上，針無法從貝西科維奇集里的一個位置連續地變到另一位置，且使掃過的面積是0。所以才需要“鮑爾連接”的技巧，同時，結論是針掃過的面積可以任意小，但并非為0。

掛谷猜想——從面積到維度

在實數中，對象可能非常接近零，但實際上卻不是零。不知何故，這就是技術的癥結所在。

——約書亞·扎爾（不列顛哥倫比亞大學）

構造貝西科維奇集的方法有很多，最經典的是被稱為“佩龍樹”的技巧，它能夠簡化貝西科維奇的原始構造，以奧斯卡·佩龍 （Oskar Perron） 命名。

想象一個高為1的等邊三角形 （還記得這種三角形是最小的滿足掛谷問題的凸形嗎） ，把它平分，再把兩個直角三角形稍微疊在一起，如下圖。這個新圖形面積比三角形小，但在其中，上面兩個尖角的每個角內都能找出長度≥1的線段。

現在重新開始，把三角形平均分為 8 個，把它們兩兩疊在一起，再兩兩疊在一起，這種圖形就叫作佩龍樹。如果重復這個步驟，把三角形分為 16 個，32 個，……， 2n 個，顯然整個圖形的面積可以越來越小，并且可以證明隨著步驟增長，圖形面積無限趨近于0。

佩龍樹的構造過程 | 圖源：Kakeya set - Wikipedia

這樣掛谷的轉針問題似乎得到了完全的解決。所以這又是一個非常有趣、非常有難度的娛樂性數學問題。但也就僅此而已了嗎？錯！

應用平面上的貝西科維奇集解決了轉針趣題之后，數學家開始關注這個集合本身的性質，尤其是它們的分形維度。

由于它包含任意方向的單位向量，直覺上，該集合的維度不應該小于2。這就是最初的掛谷猜想。事實上對于零測集來說，維數有不止一種定義。總的來說我們用得最多的還是豪斯道夫 （Hausdorff） 維數和閔可夫斯基 （Minkowski） 維數。我們這里只介紹前者。

分形結構 （Fractal Structure） 是一種自相似的幾何圖形，即無論放大或縮小多少倍，都能看到相同或類似的形狀。分形結構具有無限的復雜度和細節，常常出現在自然界中，比如雪花、樹葉、海岸線等。

有研究表明，當事物的形態出現某種自我重復的模式時，會在我們的大腦里喚起輕松的感覺，從而降低壓力，讓我們感到舒緩放松。人類文明早在懵懂之中，就下意識地學會利用這一特征：想一想家里床單、墻紙和窗簾上的圖案。這被稱為“分形流暢性”。原理大概是重復的視覺元素可以降低大腦處理視覺信息時所用到的運算資源，所以會令人感到輕松愉悅。

分形Gosper曲線的自身重復式構造 | 圖源：Fractal curve - Wikipedia

分形的存在維度不是一個整數。我們可以用豪斯道夫維數定義它。不管被測圖形多么復雜，我們總能用一塊塊半徑為e的小圓形覆蓋 （允許彼此部分重疊） 住它 （因為我們可以用小圓形覆蓋住全平面，所以當然可以覆蓋住平面上的任意圖形） 。

演示分形維度的逼近計算方式 | 圖源：Hausdorff dimension - Wikipedia

我們考慮覆蓋住被測圖形的小圓的個數N（e），然后考慮對數運算[LogN(e)/Log(1/e)]，當e趨于0時的極限就是分形的豪斯道夫維數。容易驗證，當被測圖形足夠規整的時候，豪斯道夫維數就是通常意義的維數。

回到掛谷猜想，在經歷了半個世紀的探索后，1971年羅伊·戴維斯 （Roy Davies） 成功證明，平面上的貝西科維奇集的豪斯道夫維數和閔可夫斯基維數正好是2。由于1維的情況是平凡的，數學家進一步猜測，對于任意正整數n，

在n維歐幾里得空間中，包含所有方向的單位向量的集合，其閔可夫斯基維數和豪斯多夫維數是否都等于n？

這就是掛谷猜想的完整表述。對于3維以及更高維度的情形，它就像是難以攻略的碉堡，阻擋著一代又一代數學家的攻勢。因為n維空間本身肯定包含了所有方向的單位向量，所以這里的難點其實是高維的貝西科維奇集 （掛谷集） ——占據“體積”為0，但又包含了所有方向上單位向量的集合——的維度是否足夠“大”，能夠和空間本身相等。盡管包括托馬斯·沃爾夫 （Thomas Wolff） 、讓·布爾甘 （Jean Bourgain，1994年菲爾茲獎得主） 、內茨·卡茨 （Nets Katz） 、陶哲軒等在內的數學家都曾在此領域取得重要的階段性成果，但即便對于n=3這一最簡單的特殊情況，仍是力有不逮。

化無限為有限，掛谷猜想的真正價值

如果你覺得這個簡單，那你就誤解了這個問題。

——C++語言之父 本賈尼·斯特勞斯特盧普（Bjarne Stroustrup）

雖然對掛谷猜想的研究催生了幾何測度論這一現代數學分支學科，但直到1971年查理斯·費夫曼 （Charles Fefferman，1978年菲爾茲獎得主） 在論文“The Multiplier Problem for the Ball”中指出該猜想和現代調和分析領域的聯系之前，數學界普遍把它視作是一個難度超高的趣味性問題——亦即嚴肅性和內涵不足，研究它單純是為了滿足學者的好奇心和欣賞數學純粹之美的審美目的。

其實，注意到1917年貝西科維奇思考的那個積分問題和掛谷轉針問題聯系在一起，那么，如果掛谷猜想和現代調和分析里最重要的課題之間存在聯系，也不至于讓我們大吃一驚。

按《10000個科學難題·數學卷》一書的說法，掛谷集 （貝西科維奇集） 與調和分析、數論、偏微分方程等多個分支產生了深刻的聯系，例如在調和分析的振蕩積分理論和Dirichlet級數的分布中都發揮著重要作用，同時與波動方程解的局部光滑性有密切聯系。

實際上，貝西科維奇集的維數信息將決定一系列數學猜想的生死。這些數學猜想鮮為人知，在公眾輿論中毫無名氣。但在數學家眼里，它們的重要性絲毫不低于著名的黎曼猜想。可以說，貝西科維奇集的幾何形狀支撐起了偏微分方程、調和分析和其他領域的大量課題。其中最引人注目的是，該猜想是分析學中三大環環相套的中心猜想成立的必要條件。

具體來說，在傅里葉分析里有所謂的限制猜想和Bochner-Riesz猜想，在更大的領域里還有局部平滑猜想。包含和難度遞進關系如下：

掛谷猜想?限制猜想?Bochner-Riesz猜想?局部平滑猜想

這也意味著，一旦掛谷猜想不成立，則后續幾個猜想全不成立。現代分析學家就可以含淚休息了。

這組數學猜想的重要性本質上源于傅里葉變換的重要性。傅里葉變換可以將幾乎所有函數表示為正弦波的和。它是物理學家和工程師最強大的數學工具，可與其相提并論的或許只有矩陣理論；重要性還要高的，應該就只剩加減乘除四則運算法則這一類基礎常識了。

傅里葉變換是求解微分方程最主要的工具，也是不確定性原理等量子力學思想背后的數學基礎，同時它在實際應用上也具有無與倫比的價值，在分析和處理信號方面發揮了重要作用，使現代手機等事物成為可能。

從限制猜想到局部平滑猜想，各在不同程度上制約了傅里葉變換的“誤差”，所以數學家和工程師肯定更愿意生活在這些猜想為真的世界里，因為在這樣的世界里，傅里葉變換帶來的“誤差”總是可以“控制”的，起碼不會糟糕到超出預期。

此外，數學家們驚訝地發現，調和分析里用于上述猜想的技術也可以用來證明看似不相關的數論領域的主要結果 （可以推動黎曼猜想的證明） 。

水漲船高，當掛谷猜想和分析學的中心課題建立起聯系之后，也收獲了更多的關注。不過遺憾的是，它太難了。單說n=3時的特殊情況，直到1995年，托馬斯·沃爾夫僅能證明3維空間中的貝西科維奇集的豪斯道夫和閔可夫斯基維數必須至少為 2.5。這一下限很難提高。到1999 年，陶哲軒和合作者才突破了閔可夫斯基維數，得到新的下界：2.500000001。盡管僅僅改進了0.000000001，但它是從無到有的成就。因此他們的論文被《數學年刊》 （Annals of Mathematics） 刊發，這是數學領域里四大頂級刊物之一。

在陶哲軒等人的這篇論文之后，再次取得突破的就是本文開頭提及的兩位學者——王虹和扎爾——他們于2022年沿用陶哲軒等人的框架，并創造性地引入投影理論，最終在一類特殊的貝西科維奇集上證明了3維空間里的掛谷猜想！他們因此被認為是對貝西科維奇集理解最深刻的人。

理解最深刻的人

（選擇研究方向）還是看興趣吧，有興趣就讀，沒興趣也沒必要讀……

——王虹，紐約大學柯朗數學研究所

2023年7月，王虹在母校作學術報告 | 圖源：北京國際數學研究中心

現年34歲的王虹在16歲時就以高考653分的成績順利地考入北京大學地球與空間科學系。后來出于對數學的濃厚興趣，她轉到了數學系。

在麻省理工學院讀博期間，她師從著名數學家拉里·古斯 （ Larry Guth ，與前面提及的陶哲軒等人一樣，是幾何測度論和分析領域的頂級權威） ，開始深入研究調和分析領域。于2023年7月起，她在紐約大學柯朗數學研究所擔任副教授。

扎爾則是陶哲軒的學生，他于2013年拿到博士學位。兩人在各個大問題上都做出了極為重要的工作。他們的學術成就，得到了國際數學界的高度認可。

約書亞·扎爾丨圖源：personal.math.ubc.ca/~jzahl/

2020年王虹、古斯和歐雨濛合作推動了Falconer's distance set problem (Inventions)； 2023年王虹和Kevin Ren完全解決了Furstenberg set conjecture。而在2020年左右，Furstenberg猜想，做分形幾何的學者還普遍認為這是一個難以解決或者說目前還沒有工具可以解決的問題。今天，王虹和扎爾又宣布解決了3維掛谷問題；令人忍不住期待完全解答Falconer's distance set problem的一天！以至于去年上半年，就有提名王虹為菲爾茲獎候選人的呼聲。

Furstenberg set conjecture是分形幾何領域內的著名數學難題。具體來說，這個猜想與豪斯多夫維數相關，涉及集合的復雜度和大小。該猜想提出，對于一個集合上的特定幾何結構 （如在平面中由直線組成的集合） ，其豪斯多夫維數必須滿足某種條件。從描述上也能看出來，它和掛谷猜想非常之像。具體而言，如果一個集合在不同方向的投影都具有某種結構，那么該集合的整體維數應該有一個下限。這個猜想在數學界被廣泛研究，因為它不僅涉及集合論和幾何，還與動力系統和數論等領域有關。

在王虹的論文發表后，預測市場平臺認為其極有可能獲得明年數學界的最高獎項——菲爾茲獎丨圖源：https://manifold.markets/nathanwei/who-will-win-the-2026-fields-medals

王虹和扎爾的最新論文更是篇幅浩帙 （127頁） 。作者把他們2022年 (Sticky Kakeya sets and sticky Kakeya conjecture) 和2024 年 (The Assouad dimension of Kakeya sets in R3) 兩篇文章與這篇一起稱為三部曲 。在介紹部分，作者寫到他們的證明是基于并實現了在“Katz-Tao program”框架里解決掛谷猜想的思路。

由于分析技術處理不了指向所有方向的單位向量，應用調和分析的工具，首先就要把問題離散化。基本思路就是，賦予單位向量一個“寬度”——不再把它們當成理想的無寬度的幾何線段，而是真實的實體針。同時他們計算出貝西科維奇集在集合的向量元素被賦予寬度后，獲得的體積。在比較了寬度與實體針的數值關系后，借助反證法，可以得到一個矛盾，進而推出猜想是成立的。

實際證明過程中，難免出現一些例外情況，它們的結構是非常“丑陋”的，需要一點點分析。從文章篇幅也可以看出，這個過程并不輕松。

攻克三維掛谷猜想后，去年9月，王虹加入了赫赫有名的法國高等研究所（IHES）擔任常任教授。該研究所目前只有5位數學領域的常任教授，歷屆數學常任教授共13人，其中8人是菲爾茲獎獲得者。

在不遠的未來，中國數學家將以其獨到的創新思維和嚴謹的研究方法迅速崛起，逐步在全球數學版圖上占據舉足輕重的地位。同時，越來越多才華橫溢、勇于突破傳統局限的女性數學家已經嶄露頭角，她們，如璀璨星辰，用非凡的智慧為世界數學的發展注入源源不斷的新能量。

致謝：感謝美國南密西西比大學丁玖教授和加州理工學院倪億教授對本文提出的若干修改意見。

參考文獻

[1] Hong Wang, Joshua Zahl, The Assouad dimension of Kakeya sets in R3, arXiv:2401.12337

[2 ] Hong Wang, Shukun Wu, Restriction estimates using decoupling theorems and two-ends Furstenberg inequalities, arXiv:2411.08871

[3] Terry Tao, The three-dimensional Kakeya conjecture, after Wang and Zahl, What's new

[4] Kevin Ren, Hong Wang, Furstenberg sets estimate in the plane, arXiv:2308.08819

[5] 東雲博士不會PDE, 組合學的多項式方法：有限域Kakeya猜想, 知乎

[6] 5歲上學兩次跳級——花季少女16歲考上北大秘訣, 新浪網

[7] Fefferman, Charles. "The multiplier problem for the ball." Annals of mathematics 94.2 (1971): 330-336.

[8] Jordana Cepelewicz, A Tower of Conjectures That Rests Upon a Needle, Quanta Magazine

[9] Jordana Cepelewicz, New Proof Threads the Needle on a Sticky Geometry Problem, Quanta Magazine

文章轉載自“返樸”公眾號