數(shù)學(xué)、物理、哲學(xué)的盡頭，都繞不開(kāi)這一本經(jīng)典

數(shù)學(xué)、物理、哲學(xué)的盡頭

都繞不開(kāi)這一本經(jīng)典

把“數(shù)學(xué)家”“物理學(xué)家”“哲學(xué)家”三頂桂冠同時(shí)戴在一個(gè)人頭上，聽(tīng)起來(lái)似乎過(guò)于夸張。

許多人說(shuō)，“物理的盡頭是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的盡頭是哲學(xué)，哲學(xué)的盡頭是神學(xué)”，不過(guò)這不是可靠的學(xué)術(shù)判斷。

許多大物理學(xué)家都有自己的哲學(xué)思想，許多大數(shù)學(xué)家也對(duì)物理學(xué)作出過(guò)貢獻(xiàn)，但我們通常不會(huì)輕易把他們同時(shí)歸入這三個(gè)行列。

然而，赫爾曼·外爾是一個(gè)例外。他不僅在數(shù)學(xué)史上占有重要位置，也深刻參與了現(xiàn)代物理學(xué)觀念的形成；而哲學(xué)，則始終是他理解數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。

赫爾曼·外爾（1885—1955）

《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》正是這樣一位人物寫下的著作。它誕生于數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)劇烈變動(dòng)的時(shí)代，凝結(jié)著一位頂尖科學(xué)家對(duì)現(xiàn)代知識(shí)根基的系統(tǒng)思考。

由武漢大學(xué)前校長(zhǎng)，我國(guó)數(shù)學(xué)家、教育家齊民友教授翻譯，中國(guó)科學(xué)院研究員胡作玄撰寫長(zhǎng)篇導(dǎo)讀。

01

一位橫跨數(shù)學(xué)、物理與哲學(xué)的思想家

外爾首先是一位公認(rèn)的大數(shù)學(xué)家。菲爾茲獎(jiǎng)獲得者阿蒂亞曾說(shuō)，自己最崇敬的數(shù)學(xué)家就是赫爾曼·外爾，而且自己的許多深入研究都來(lái)源于外爾的工作。布爾巴基學(xué)派的兩位創(chuàng)始人韋伊和謝瓦萊在為外爾寫的訃文中指出，外爾是完成從經(jīng)典數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的人物。

他也完全有資格被稱為物理學(xué)家。外爾把先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具引入相對(duì)論和量子力學(xué)，給現(xiàn)代物理學(xué)注入了新的觀念。他是統(tǒng)一場(chǎng)論的第一位倡導(dǎo)者，也是規(guī)范場(chǎng)論的真正先驅(qū)。他第一個(gè)把群及其線性表示理論變成物理學(xué)家武庫(kù)中的必備武器，由此推動(dòng)了從分子、原子到原子核和基本粒子的研究。對(duì)于現(xiàn)代物理學(xué)來(lái)說(shuō)，這樣的貢獻(xiàn)顯然不只是“數(shù)學(xué)家的旁支工作”。

外爾曾在哥廷根跟隨希爾伯特學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，圖為哥廷根數(shù)學(xué)研究所。

更特別的是，哲學(xué)并非外爾的業(yè)余愛(ài)好，而是貫穿其學(xué)術(shù)生命的根本追問(wèn)。少年時(shí)代，他就因閱讀康德而開(kāi)始思考空間和時(shí)間問(wèn)題。后來(lái)，他又經(jīng)過(guò)實(shí)證主義、胡塞爾現(xiàn)象學(xué)、費(fèi)希特哲學(xué)，最終受到?？斯氐挠|動(dòng)。他探討的問(wèn)題從時(shí)間、空間到物質(zhì)世界，再到自我、人與上帝。他在1926年寫下的《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》，是這一領(lǐng)域的第一部系統(tǒng)論著。

外爾站在數(shù)學(xué)、物理與哲學(xué)的交界處，親自參與過(guò)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代物理學(xué)的建構(gòu)，又始終保持對(duì)認(rèn)識(shí)論和世界圖景的追問(wèn)。

02

他一生貫穿了現(xiàn)代科學(xué)最激蕩的年代

《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》寫成于20世紀(jì)20年代，而20世紀(jì)初正是一個(gè)科學(xué)大變革的時(shí)代。這一時(shí)期出現(xiàn)了愛(ài)因斯坦、玻爾、海森堡、狄拉克、羅素、哥德?tīng)枴ⅠT·諾伊曼等一大批堪稱大師級(jí)的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，外爾也是其中之一。

在外爾生活和工作的年代，世界政治、科學(xué)都經(jīng)歷了翻天覆地的變化。第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)和結(jié)束，納粹興起，希特勒上臺(tái)；而在科學(xué)領(lǐng)域，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論面世，光在引力場(chǎng)中發(fā)生偏折得到了證實(shí)并引起轟動(dòng)；量子力學(xué)也逐步建立，玻恩的解釋、海森堡的不確定性原理以及玻爾的互補(bǔ)原理再次造成轟動(dòng)。物理學(xué)界的重大變革也引起了數(shù)學(xué)家們的關(guān)注，他們各自作出了反應(yīng)，同時(shí)也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

外爾（左）與德國(guó)數(shù)學(xué)家恩斯特·佩舍（Ernst Peschl）的合照

正是在激蕩的歲月中，外爾完成了他最重要的工作：統(tǒng)一場(chǎng)論與仿射聯(lián)絡(luò)幾何學(xué)，李群表示論與量子力學(xué)，數(shù)學(xué)及自然科學(xué)的哲學(xué)。外爾到蘇黎世時(shí)，愛(ài)因斯坦還在那里任教，二人時(shí)常交流。同愛(ài)因斯坦的談話，使外爾注意到新的領(lǐng)域。

1916年復(fù)員之后，希爾伯特及愛(ài)因斯坦的論文均已發(fā)表，物理學(xué)與幾何學(xué)之間的聯(lián)系已經(jīng)十分清楚。外爾開(kāi)始設(shè)想沿著愛(ài)因斯坦的道路繼續(xù)前進(jìn)，把當(dāng)時(shí)已知的引力場(chǎng)和電磁場(chǎng)統(tǒng)一起來(lái)，并尋求恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表述形式。

雖然外爾的統(tǒng)一場(chǎng)論嘗試并沒(méi)有成功，但它的數(shù)學(xué)“副產(chǎn)品”——聯(lián)絡(luò)乃至纖維叢——卻獨(dú)立地向前發(fā)展，而且一再為物理學(xué)提供合適的工具。與此同時(shí)，隨著量子力學(xué)的誕生，群論也開(kāi)始被引入物理學(xué)。

外爾1928年出版的《群論與量子力學(xué)》扉頁(yè)

廣大的物理學(xué)家卻對(duì)群感到陌生，甚至感到厭惡。外爾對(duì)群的熟悉使他容易看出三維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)群以及置換群在球?qū)ΨQ原子或離子的電子構(gòu)型中的作用。

他很容易從表示論推出，除了主量子數(shù)以外，其他量子數(shù)都是群表示的特征指數(shù)。這再清楚不過(guò)地表現(xiàn)出了群論的威力。

03

《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》究竟講什么

《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》原以德文寫成，發(fā)表于1926年。中譯本所依據(jù)的是1949年出版的英譯本；英譯本在原書基礎(chǔ)上增加了六個(gè)附錄，反映了初版之后約二十年間科學(xué)發(fā)展的若干新變化。

外爾《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》的英譯本扉頁(yè)

全書正文分為兩大部分：第一部分是數(shù)學(xué)，第二部分是自然科學(xué)。

在數(shù)學(xué)部分，外爾詳細(xì)探討了幾個(gè)核心內(nèi)容：數(shù)理邏輯、公理體系；數(shù)和連續(xù)統(tǒng)、無(wú)限；幾何學(xué)。這些內(nèi)容既涵蓋數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念和邏輯體系，也涉及數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用。

比如，在“數(shù)理邏輯，公理體系”一章中，外爾闡釋數(shù)理邏輯的相關(guān)概念，討論邏輯推理在數(shù)學(xué)認(rèn)知中的作用，以及公理化方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。值得一提的是，數(shù)理邏輯正是數(shù)學(xué)和哲學(xué)交匯的重要領(lǐng)域，它通過(guò)形式化的語(yǔ)言和方法研究推理和證明的結(jié)構(gòu)，既為數(shù)學(xué)之發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也是哲學(xué)探討邏輯和語(yǔ)言問(wèn)題的重要工具。

在“數(shù)和連續(xù)統(tǒng)，無(wú)限”一章中，外爾聚焦于數(shù)和連續(xù)統(tǒng)這一數(shù)學(xué)中最基本也最復(fù)雜的領(lǐng)域。他介紹有理數(shù)和復(fù)數(shù)、自然數(shù)、無(wú)理數(shù)與無(wú)窮小、集合論、直覺(jué)數(shù)學(xué)以及符號(hào)數(shù)學(xué)等內(nèi)容，并討論各數(shù)系之間的擴(kuò)展關(guān)系。隨后，他進(jìn)一步探討無(wú)限和連續(xù)統(tǒng)。無(wú)限是一個(gè)令人著迷但又難以捉摸的概念，在微積分、概率論和量子力學(xué)等領(lǐng)域中都有重要地位。外爾通過(guò)康托的集合論和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，展示了無(wú)限在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式和應(yīng)用。

“幾何學(xué)”一章所涉主題尤為豐富，包括非歐幾何、解析幾何、高維幾何、仿射幾何、射影幾何、色彩空間、相對(duì)性問(wèn)題、黎曼的觀點(diǎn)和拓?fù)鋵W(xué)等。幾何學(xué)的每一次重大突破，都伴隨著人類對(duì)世界認(rèn)知的深化和拓展。通過(guò)對(duì)這些內(nèi)容的探討，外爾使我們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之間的緊密聯(lián)系和相互作用：數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的工具，更是其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和思維方式的體現(xiàn)。

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在自然科學(xué)部分，外爾討論三章內(nèi)容：空間與時(shí)間，超驗(yàn)的外部世界；方法論；世界的物理圖景。

他對(duì)空間與時(shí)間這兩個(gè)自然科學(xué)中最基本的概念進(jìn)行哲學(xué)層面的審視，指出它們并非如日常經(jīng)驗(yàn)中那樣直觀和簡(jiǎn)單，而是充滿復(fù)雜性?！俺?yàn)的外部世界”并非對(duì)科學(xué)的否定，而是對(duì)科學(xué)認(rèn)知局限性的承認(rèn)。

我們的感知器官和思維方式都存在著固有的限制，這使得我們無(wú)法完全把握自然界的真實(shí)面貌。然而，正是這種局限性激發(fā)了人類不斷追求真理、探索未知的勇氣和動(dòng)力?？茖W(xué)的目的并非消除這種局限性，而是在承認(rèn)其存在的基礎(chǔ)上，通過(guò)不斷研究和發(fā)現(xiàn)拓寬我們的認(rèn)知邊界。

在“方法論”一章中，外爾探討科學(xué)方法的哲學(xué)基礎(chǔ)，分析觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)?？茖W(xué)方法并非機(jī)械程序，而是一種基于理性思考和經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)證的探究方式。

在“世界的物理圖景”一章中，他進(jìn)一步討論經(jīng)典力學(xué)、電磁學(xué)、熱力學(xué)以及相對(duì)論和量子力學(xué)等理論。特別是相對(duì)論和量子力學(xué)的革命性貢獻(xiàn)，徹底改變了我們對(duì)時(shí)空結(jié)構(gòu)和微觀世界的認(rèn)識(shí)。例如，相對(duì)論中的時(shí)空觀念挑戰(zhàn)了我們對(duì)時(shí)間和空間的傳統(tǒng)認(rèn)知;量子力學(xué)中的概率性和不確定性則揭示了自然界的隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性。

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04

這本書為什么今天仍然值得一讀

《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》是一部具有深遠(yuǎn)學(xué)術(shù)影響和深刻思想價(jià)值的著作。它通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之間關(guān)系的深入探討，為我們理解科學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程提供了寶貴的視角。

對(duì)于想要閱讀本書的讀者來(lái)說(shuō)，除了要了解一些基本的數(shù)學(xué)和物理學(xué)知識(shí)，還需要具備一定的哲學(xué)素養(yǎng)和思辨能力，這樣才能更好地理解書中所討論的問(wèn)題和觀點(diǎn)。

赫爾曼·外爾的墓碑

外爾在書中運(yùn)用了大量的邏輯推理和哲學(xué)思辨闡述自己的觀點(diǎn)和思想方法，因此在閱讀過(guò)程中，要注重對(duì)論證過(guò)程的理解和分析，要深入思考每一個(gè)論證環(huán)節(jié)。

雖然本書發(fā)表于20世紀(jì)20年代，但外爾所討論的問(wèn)題和觀點(diǎn)仍然具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。書中提出的許多思想方法對(duì)后來(lái)的科學(xué)研究同樣產(chǎn)生了重要影響。

最后，讓我們回味一下外爾的這段精辟論述吧：

數(shù)學(xué)是無(wú)窮的科學(xué)。

數(shù)學(xué)家發(fā)明了有限的構(gòu)造方法判定那些其本性涉及無(wú)窮的問(wèn)題。

這正是數(shù)學(xué)的光榮所在。克爾愷郭爾(S.Kierkegaard)有一次說(shuō)過(guò)，宗教討論的是那些無(wú)條件涉及人的問(wèn)題。與其相反(也具有同樣的夸張)，我們可以說(shuō)，數(shù)學(xué)所討論的事物是完全不牽涉人的。數(shù)學(xué)有著星光那種非人的特性，明亮、清晰卻冷漠。

從上世紀(jì)(19世紀(jì))末到本世紀(jì)(20世紀(jì))初的轉(zhuǎn)折關(guān)頭起，物理學(xué)的發(fā)展就好像沖向一個(gè)方向的洪流，而數(shù)學(xué)則好像尼羅河三角洲，

它的水流分散到所有方向。近代數(shù)學(xué)的威力在于公理方法和構(gòu)造方法的相互作用。除了語(yǔ)言和音樂(lè)之外，數(shù)學(xué)是人類心靈的自由創(chuàng)造力的最主要的表現(xiàn)，它是通過(guò)理論構(gòu)造認(rèn)識(shí)世界的普遍工具，因此，數(shù)學(xué)應(yīng)該是教育下一代的知識(shí)和能力的關(guān)鍵。

《數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之哲學(xué)》

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